Slerpの計算式が分かる｜クォータニオン回転を滑らかに補間する考え方 | 逆引き！ゲーム数学ラボ

Slerpで滑らかな回転補間を実装したいけど、計算式がどうなっているのか分からない。

UnityのQuaternion.Slerpを使うだけでいいのか、それとも計算式を理解する必要があるのか。

そんな疑問を抱えていませんか。

Slerpの計算式は、球面上を等速で移動するための三角関数を使った補間です。

この記事では、Slerpの計算式の仕組みと、Unityでの実装方法を見ていきましょう。

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Slerpの計算式とは何か（ゲーム制作目線）
ゲームでの具体的な使い道
考え方・仕組みを図解イメージで説明
UnityでSlerpの計算式を実装する方法
まとめ

Slerpの計算式とは何か（ゲーム制作目線）

Slerpの計算式は、クォータニオンを球面上で等速補間する数式です。

基本となる計算式は、以下のようになります。

Slerp(q₁, q₂, t) = (sin((1-t)θ) / sin(θ)) × q₁ + (sin(tθ) / sin(θ)) × q₂

ここで、q₁は開始のクォータニオン、q₂は終了のクォータニオン、tは補間係数（0.0〜1.0）、θは2つのクォータニオン間の角度です。

この式のポイントは、sin関数を使うことで、球面上を等速で移動できることです。

Lerpでは直線的に補間するため、球面上を移動する距離が一定になりません。

しかし、Slerpでは、球面上を移動する角度（距離）が一定になるため、回転速度が一定になります。

Unityでは、Quaternion.Slerp関数が用意されており、この計算を自動で行ってくれます。

ただし、計算式を理解しておくと、より効果的な実装が可能です。

ゲームでの具体的な使い道

Slerpの計算式が、ゲームでどう活用されているかを確認してみましょう。

キャラクターの回転補間

プレイヤーキャラクターが、現在の向きから目標の向きへ滑らかに回転する際、Slerpの計算式が使われます。

例えば、TPSゲームで、キャラクターがカメラの方向を向く時です。

マウスを大きく動かすと、180度近く回転することがあります。

この時、Slerpの計算式を使えば、回転速度が一定になり、自然な動きになります。

カメラの視点切り替え

カメラが特定の方向へ回転する時も、Slerpの計算式が有効です。

ボス戦の開始時や、イベントシーンでカメラが視点を切り替える場面です。

Slerpの計算式を使うことで、一定速度で滑らかに回転します。

オブジェクトの回転アニメーション

ドアや宝箱が開く時の回転アニメーションでも、Slerpの計算式が使われます。

開き始めから閉じ終わりまで、一定の速度で回転するため、見た目が自然です。

特に、回転角度が大きい（90度以上）場合、Slerpの効果が顕著に現れます。

武器の向き調整

FPSゲームで、武器が敵を向く時にも、Slerpの計算式が役立ちます。

武器の向きを、プレイヤーの視線方向に滑らかに合わせる際、一定速度で回転します。

Lerpを使うと、武器の動きが不規則になることがありますが、Slerpなら一定速度を保てます。

Slerpの計算式が使われる場面

回転角度が大きい場合（90度以上）
回転速度を一定に保ちたい場合
カメラの回転補間
キャラクターや武器の向き変更
滑らかな回転アニメーション

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考え方・仕組みを図解イメージで説明

Slerpの計算式は、「球面上の最短経路で等速移動」という考え方で理解できますね。

角度θの計算

まず、2つのクォータニオンq₁とq₂の間の角度θを計算します。

角度θは、2つのクォータニオンの内積から求められます。

cos(θ) = q₁ · q₂

この式から、θ（シータ）を求めるには、arccos関数を使います。

θ = arccos(q₁ · q₂)

ただし、クォータニオンの内積が負の場合は、短い経路を選ぶために、q₂の符号を反転させる必要があります。

Slerpの計算式の導出

角度θが分かると、球面上を等速で移動する補間が可能です。

Slerpの計算式は、以下のように導出されます。

球面上を移動する距離は、角度θに比例します。

補間係数tが0から1まで変化する時、移動する角度は0からθまで変化します。

この時、sin関数を使うことで、等速で移動できますね。

Slerp(q₁, q₂, t) = (sin((1-t)θ) / sin(θ)) × q₁ + (sin(tθ) / sin(θ)) × q₂

この式で、t = 0の時はq₁、t = 1の時はq₂になります。

回転速度が一定になる理由

Lerpは、直線的に補間するため、球面上を移動する距離が一定ではありません。

具体的には、球面上を移動する角度が、tの値に応じて変化します。

一方、Slerpでは、移動する角度がtに比例するため、回転速度が一定になります。

具体例で説明しましょう。

0度から180度まで回転する時、Lerpを使うと、各ステップで移動する角度が異なります。

一方、Slerpを使うと、各ステップで移動する角度が一定になるため、回転速度が一定になります。

⚠️ 重要なポイント

Slerpの計算式は、sin関数を使うため、計算コストが高い
角度θが0に近い場合、sin(θ)が0に近づくため、数値計算の誤差に注意が必要
回転角度が小さい（30度以下）場合は、Lerpでも十分な場合が多い

UnityでSlerpの計算式を実装する方法

UnityでSlerpの計算式を実装する方法を、具体的なコード例とともに説明します。

Quaternion.Slerpの基本的な使い方

Unityでは、Quaternion.Slerp関数が用意されています。

この関数を使えば、Slerpの計算式を自動で実行してくれます。

// 現在の回転と目標の回転
Quaternion currentRotation = transform.rotation;
Quaternion targetRotation = Quaternion.LookRotation(targetPosition - transform.position);

// Slerpで補間（tは0から1の値）
float t = Time.deltaTime * rotationSpeed;
transform.rotation = Quaternion.Slerp(currentRotation, targetRotation, t);

// 現在の回転と目標の回転

Quaternion currentRotation = transform.rotation;

Quaternion targetRotation = Quaternion.LookRotation(targetPosition - transform.position);

// Slerpで補間（tは0から1の値）

float t = Time.deltaTime * rotationSpeed;

transform.rotation = Quaternion.Slerp(currentRotation, targetRotation, t);

このコードでは、現在の回転から目標の回転まで、一定速度で補間します。

rotationSpeedは、回転の速さを制御するパラメータです。

手動でSlerpの計算式を実装する場合

Unityの関数を使わず、手動でSlerpの計算式を実装する場合のコード例です。

Quaternion ManualSlerp(Quaternion a, Quaternion b, float t)
{
    // 短い経路を選ぶ
    float dot = Quaternion.Dot(a, b);
    if (dot < 0f)
    {
        b = new Quaternion(-b.x, -b.y, -b.z, -b.w);
        dot = -dot;
    }
    
    // 角度θを計算
    float theta = Mathf.Acos(Mathf.Clamp(dot, -1f, 1f));
    
    // sin(θ)が0に近い場合、Lerpにフォールバック
    float sinTheta = Mathf.Sin(theta);
    if (sinTheta < 0.0001f)
    {
        return Quaternion.Lerp(a, b, t);
    }
    
    // Slerpの計算式
    float w1 = Mathf.Sin((1f - t) * theta) / sinTheta;
    float w2 = Mathf.Sin(t * theta) / sinTheta;
    
    return new Quaternion(
        w1 * a.x + w2 * b.x,
        w1 * a.y + w2 * b.y,
        w1 * a.z + w2 * b.z,
        w1 * a.w + w2 * b.w
    ).normalized;
}

Quaternion ManualSlerp(Quaternion a, Quaternion b, float t)

{

// 短い経路を選ぶ

float dot = Quaternion.Dot(a, b);

if (dot < 0f)

{

b = new Quaternion(-b.x, -b.y, -b.z, -b.w);

dot = -dot;

}

// 角度θを計算

float theta = Mathf.Acos(Mathf.Clamp(dot, -1f, 1f));

// sin(θ)が0に近い場合、Lerpにフォールバック

float sinTheta = Mathf.Sin(theta);

if (sinTheta < 0.0001f)

{

return Quaternion.Lerp(a, b, t);

}

// Slerpの計算式

float w1 = Mathf.Sin((1f - t) * theta) / sinTheta;

float w2 = Mathf.Sin(t * theta) / sinTheta;

return new Quaternion(

w1 * a.x + w2 * b.x,

w1 * a.y + w2 * b.y,

w1 * a.z + w2 * b.z,

w1 * a.w + w2 * b.w

).normalized;

}

このコードでは、Slerpの計算式を手動で実装しています。

ただし、実際の開発では、UnityのQuaternion.Slerpを使う方が確実で効率的です。

キャラクターの向き変更の実装例

キャラクターがマウスの方向を向く例を見てみましょう。

void Update()
{
    // マウスの位置を取得
    Vector3 mousePosition = Input.mousePosition;
    mousePosition.z = 10f;
    
    // マウス位置をワールド座標に変換
    Vector3 worldPosition = Camera.main.ScreenToWorldPoint(mousePosition);
    
    // キャラクターからマウス位置への方向
    Vector3 direction = (worldPosition - transform.position).normalized;
    
    // 目標の回転
    Quaternion targetRotation = Quaternion.LookRotation(direction);
    
    // Slerpで滑らかに回転
    float rotationSpeed = 5f;
    transform.rotation = Quaternion.Slerp(
        transform.rotation,
        targetRotation,
        Time.deltaTime * rotationSpeed
    );
}

void Update()

{

// マウスの位置を取得

Vector3 mousePosition = Input.mousePosition;

mousePosition.z = 10f;

// マウス位置をワールド座標に変換

Vector3 worldPosition = Camera.main.ScreenToWorldPoint(mousePosition);

// キャラクターからマウス位置への方向

Vector3 direction = (worldPosition - transform.position).normalized;

// 目標の回転

Quaternion targetRotation = Quaternion.LookRotation(direction);

// Slerpで滑らかに回転

float rotationSpeed = 5f;

transform.rotation = Quaternion.Slerp(

transform.rotation,

targetRotation,

Time.deltaTime * rotationSpeed

);

}

このコードでは、キャラクターがマウスの位置を向くように、滑らかに回転します。

Slerpの計算式により、回転速度が一定になります。

数値計算の誤差への対応

Slerpの計算式では、sin(θ)が0に近い場合、数値計算の誤差が大きくなります。

この場合、UnityのQuaternion.Slerpは自動的にLerpにフォールバックします。

手動で実装する場合も、同様の対応が必要です。

パフォーマンスへの配慮

Slerpの計算式は、sin関数やarccos関数を使うため、計算コストが高いです。

毎フレーム、多数のオブジェクトでSlerpを使うと、パフォーマンスに影響が出る可能性があります。

対策として、回転角度が小さい場合はLerpを使い、大きい場合のみSlerpを使うという方法があります。

ゲーム開発講師

Slerpの計算式は少し複雑ですが、理解しておくと、より効果的な実装ができます。まずはUnityのQuaternion.Slerpを使って実装し、計算式の理解は徐々に深めていきましょう！

まとめ

この記事では、Slerpの計算式について見てきました。

重要なポイントをおさらいします。

重要なポイント：

Slerpの計算式は「sin関数を使った球面上の等速補間」で、回転速度が一定になる
計算式は「(sin((1-t)θ) / sin(θ)) × q₁ + (sin(tθ) / sin(θ)) × q₂」で表される
角度θは、2つのクォータニオンの内積からarccos関数で求められる
UnityではQuaternion.Slerp関数が用意されており、自動で計算してくれる
Slerpは計算コストが高いため、必要に応じてLerpと使い分けることが重要

Slerpの計算式は、3Dゲームで滑らかな回転を実現するために、重要な技術です。

計算式を完全に理解していなくても、UnityのQuaternion.Slerpを使えば実装できます。

しかし、計算式を理解しておくと、より効果的な実装や、パフォーマンスの最適化が可能です。

まずは、Quaternion.Slerpを使って、実際の動作を確認してみましょう。

実際に試してみることで、Slerpの効果を実感できるはずです。

数学的な理論だけでなく、実際のゲーム実装とセットで学ぶことで、理解が深まるはずです。

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Slerpの計算式とは何か（ゲーム制作目線）

ゲームでの具体的な使い道

キャラクターの回転補間

カメラの視点切り替え

オブジェクトの回転アニメーション

武器の向き調整

考え方・仕組みを図解イメージで説明

角度θの計算

Slerpの計算式の導出

回転速度が一定になる理由

UnityでSlerpの計算式を実装する方法

Quaternion.Slerpの基本的な使い方

手動でSlerpの計算式を実装する場合

キャラクターの向き変更の実装例

数値計算の誤差への対応

パフォーマンスへの配慮

まとめ

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