ゲームのグラフィックスを魅力的にしたい。
でも、描画に必要な数学が分からず、どこから始めればいいか分からない。
実は、描画処理は補間・色計算・ライティングなどの数学的な計算で構成されています。
これらの数学を理解すれば、様々なビジュアルエフェクトを実装できます。
この記事では、描画に必要な数学を、シェーダーとグラフィックス処理の観点から解説します。
- 描画に必要な数学が分からず、グラフィックス処理を実装できない…
- シェーダーやエフェクトで使う計算方法が理解できていない。
- 美しいグラフィックスを実現するための数学を知りたい。
✨ この記事でわかること
- 描画処理で使う数学の全体像
- 補間処理によるグラデーションや滑らかな表現
- 色計算による複雑なビジュアルエフェクト
- ライティングによる光と影の表現
- 初心者でも理解できるグラフィックス処理の基礎
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描画数学とは何か（ゲーム制作目線）
描画数学は、ゲームのグラフィックス処理を実現するための数学的な計算です。
画面に表示される全ての要素は、数学的な計算によって決定されています。
色の計算、光の反射、影の生成など、全てが数学の力で実現されています。
描画処理でよく使われる数学には、以下の要素があります。
- 補間処理：頂点間の値を滑らかに計算する処理
- 色計算：複数の色を組み合わせたり調整したりする処理
- ライティング：光の方向や強度から明るさや影を計算する処理
- 座標変換：3D空間から2D画面への変換処理
Unityでは、シェーダーやグラフィックスAPIを通じて、これらの計算を実装できます。
ゲームでの具体的な使い道
描画数学が、ゲームでどう活用されているか確認してみましょう。
シェーダーでの補間処理
シェーダーでは、頂点間の色やUV座標などを自動的に補間します。
この補間処理により、グラデーションや滑らかなテクスチャマッピングが実現できます。
Lerp関数を使って、頂点シェーダーからフラグメントシェーダーへの値の補間を行います。
ポストプロセッシングエフェクト
画面全体にエフェクトをかけるポストプロセッシングでは、色計算が頻繁に使われます。
ブルーム、トーンマッピング、カラーの調整など、様々なエフェクトが色計算で実現できます。
ライティングシステム
光の反射や影を計算するライティングシステムでは、ベクトル計算や内積が使われます。
ランバート反射やフォン反射などの計算により、リアルな光の表現が可能になります。
パーティクルシステム
パーティクルの位置や色を計算する際にも、補間や色計算が使われます。
時間に応じてパーティクルの色やサイズを変化させることで、様々なエフェクトを実現します。
- シェーダーでの頂点間補間
- ポストプロセッシングエフェクト
- ライティングシステム
- パーティクルシステム
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考え方・仕組みを図解イメージで説明
描画処理は、「頂点データ → 補間 → ピクセル色の計算 → 画面表示」という流れで実現できます。
頂点シェーダーでの処理
頂点シェーダーでは、3D空間の頂点を2D画面座標に変換します。
変換行列を使って、ワールド座標からスクリーン座標への変換を行います。
また、頂点ごとの色やUV座標などの属性を設定します。
補間処理（ラスタライズ）
頂点シェーダーからフラグメントシェーダーへの処理で、自動的に補間が行われます。
3つの頂点の間にあるピクセルに対して、各属性が自動的に補間されます。
これにより、滑らかなグラデーションやテクスチャマッピングが実現できます。
フラグメントシェーダーでの色計算
フラグメントシェーダーでは、各ピクセルの色を計算します。
テクスチャのサンプリング、ライティング計算、色の調整などが行われます。
複数の色を組み合わせることで、様々なビジュアルエフェクトを実現します。
座標変換の流れ
3D空間の頂点は、以下のような変換を経て画面に表示されます。
- ローカル座標 → ワールド座標（モデル変換）
- ワールド座標 → カメラ座標（ビュー変換）
- カメラ座標 → クリップ座標（プロジェクション変換）
- クリップ座標 → スクリーン座標（ビューポート変換）
各変換には、4×4の変換行列が使われます。
- 描画処理は頂点データから始まり、補間を経てピクセル色が計算される
- 補間処理により、滑らかなグラデーションやテクスチャマッピングが実現される
- 色計算を組み合わせることで、様々なビジュアルエフェクトを実現できる
- 座標変換には4×4の変換行列が使われ、3D空間から2D画面への変換が行われる
Unityで実装する際の注意点（代表例）
Unityで描画処理を実装する場合の注意点を見ていきましょう。
シェーダーでの補間処理
シェーダーでは、頂点シェーダーからフラグメントシェーダーへの値が自動的に補間されます。
頂点シェーダーで出力した値は、GPUが自動的に補間してフラグメントシェーダーに渡されます。
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Shader "Custom/InterpolationExample" { SubShader { Pass { CGPROGRAM #pragma vertex vert #pragma fragment frag struct appdata { float4 vertex : POSITION; float2 uv : TEXCOORD0; }; struct v2f { float4 vertex : SV_POSITION; float2 uv : TEXCOORD0; // これが自動的に補間される }; v2f vert (appdata v) { v2f o; o.vertex = UnityObjectToClipPos(v.vertex); o.uv = v.uv; return o; } fixed4 frag (v2f i) : SV_Target { // i.uvは自動的に補間されている return fixed4(i.uv.x, i.uv.y, 0, 1); } ENDCG } } } |
色計算によるエフェクト
フラグメントシェーダーで色を計算する際、Lerp関数を使って色を補間できます。
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fixed4 frag (v2f i) : SV_Target { fixed4 color1 = fixed4(1, 0, 0, 1); // 赤 fixed4 color2 = fixed4(0, 0, 1, 1); // 青 // UV座標のX値で色を補間 fixed4 color = lerp(color1, color2, i.uv.x); return color; } |
ライティング計算
ライティングでは、光の方向ベクトルと法線ベクトルの内積を使って、明るさを計算します。
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fixed4 frag (v2f i) : SV_Target { float3 lightDir = normalize(_WorldSpaceLightPos0.xyz); float3 normal = normalize(i.worldNormal); // ランバート反射の計算 float ndotl = dot(normal, lightDir); float lighting = max(0, ndotl); fixed4 color = _Color * lighting; return color; } |
座標変換の実装
Unityのシェーダーでは、座標変換用の関数が用意されています。
- UnityObjectToClipPos：オブジェクト座標からクリップ座標への変換
- UnityObjectToWorldPos：オブジェクト座標からワールド座標への変換
- UnityWorldToClipPos：ワールド座標からクリップ座標への変換
これらの関数を使うことで、手動で変換行列を計算する必要がなくなります。
パフォーマンスの考慮
描画処理は大量のピクセルに対して実行されるため、パフォーマンスへの影響が大きいです。
計算を簡略化したり、条件分岐を減らしたりすれば、処理速度を向上させられます。
不要な計算を行わないよう、必要最小限の処理に抑えることが大切です。
まとめ
この記事では、描画に必要な数学について見てきました。
重要なポイントをおさらいします。
- 描画処理は頂点データから始まり、補間を経てピクセル色が計算される
- 補間処理により、滑らかなグラデーションやテクスチャマッピングが実現される
- 色計算を組み合わせることで、様々なビジュアルエフェクトを実現できる
- ライティング計算では、ベクトルの内積を使って明るさを計算する
- 座標変換には4×4の変換行列が使われ、3D空間から2D画面への変換が行われる
描画数学は、ゲームのビジュアル品質を決定する重要な要素です。
補間、色計算、ライティングを理解すれば、様々なエフェクトを実装できます。
数学的な計算を組み合わせることで、美しいグラフィックスを実現できます。
実際のゲーム実装とセットで学ぶことで、理解が深まるはずです。
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