共役クォータニオンの仕組み｜回転の逆と相対回転の計算 | 逆引き！ゲーム数学ラボ

クォータニオンで、回転を逆にしたい。

2つの回転の相対的な関係を知りたい。

そんな場面で使われるのが、共役クォータニオンです。

共役クォータニオンは、回転の逆を表す重要な概念です。

クォータニオンqの共役は、回転を打ち消す回転を表します。

相対回転の計算など、様々な場面で使われます。

この記事では、共役クォータニオンの仕組みについて、Unity実装例とともに解説します。

共役クォータニオンとは何か、よく分からない…
回転を逆にする方法が理解できていない。
相対回転の計算で困っている。

✨ この記事でわかること

共役クォータニオンの基本概念
回転の逆を求める方法
相対回転の計算
Unityでの実装方法
初心者でも理解できる共役クォータニオンの考え方

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共役クォータニオンとは何か（ゲーム制作目線）
ゲームでの具体的な使い道
考え方・仕組みを図解イメージで説明
Unityで実装する際の注意点（代表例）
まとめ

共役クォータニオンとは何か（ゲーム制作目線）

共役クォータニオンは、クォータニオンの回転を打ち消す回転です。

クォータニオンq = (w, x, y, z)の共役q*は、q* = (w, -x, -y, -z)で表されます。

共役クォータニオンの特徴は、元の回転と合成すると、回転が打ち消されることです。

つまり、q * q* = 1（単位クォータニオン）になります。

共役クォータニオンは、回転の逆を表すため、相対回転の計算などに使われます。

Unityでは、Quaternion.Inverseや、共役の計算で簡単に扱えます。

ゲームでの具体的な使い道

共役クォータニオンが、ゲームでどう使われているか確認してみましょう。

回転の逆変換

ある回転qで回転させた後、元に戻したい場合、共役q*を使います。

qで回転 → q*で逆回転 → 元の状態に戻る

相対回転の計算

2つの回転q1とq2の相対回転を計算します。

相対回転 = q2 * q1*（q1の共役をq2に掛ける）

ローカル座標系での回転

オブジェクトのローカル座標系で、回転を計算する際に使われます。

ワールド座標系の回転を、ローカル座標系に変換する場合などに使われます。

回転の補間での使用

Slerpなどの回転補間で、正しい方向の補間を行う際に使われます。

最短経路での補間を実現するために、共役を使うことがあります。

共役クォータニオンが使われる場面

回転の逆変換（元の状態に戻す）
相対回転の計算（2つの回転の関係）
ローカル座標系での回転計算
回転の補間（最短経路での補間）

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考え方・仕組みを図解イメージで説明

共役クォータニオンは、「クォータニオンの虚数部の符号を反転 → 回転の逆を表現」という流れで実現できます。

クォータニオンの表現

クォータニオンq = (w, x, y, z)は、wが実部、x, y, zが虚部です。

回転を表すクォータニオンでは、|q| = 1（単位クォータニオン）です。

共役の計算

共役q* = (w, -x, -y, -z)は、虚数部の符号を反転させます。

これにより、回転方向が逆になります。

回転の打ち消し

q * q* = 1（単位クォータニオン）になります。

つまり、qで回転させてから、q*で回転させると、元の状態に戻ります。

相対回転の計算

q1からq2への相対回転は、q2 * q1*で計算できますね。

これにより、2つの回転の関係を表せます。

⚠️ 重要なポイント

共役クォータニオンは、回転の逆を表す
共役の計算は、虚数部の符号を反転させる
q * q* = 1で、回転が打ち消される
相対回転の計算などに活用できる

Unityで実装する際の注意点（代表例）

Unityで共役クォータニオンを扱う場合の注意点を見ていきましょう。

Quaternion.Inverseを使った実装

UnityのQuaternion.Inverseは、共役クォータニオンを返します。

public class QuaternionConjugateExample : MonoBehaviour
{
    public Transform target;
    
    void Start()
    {
        // 回転qを取得
        Quaternion q = target.rotation;
        
        // 共役（逆回転）を計算
        Quaternion qConjugate = Quaternion.Inverse(q);
        
        // q * q* = 1（単位クォータニオン）
        Quaternion result = q * qConjugate;
        Debug.Log($"結果: {result}"); // (0, 0, 0, 1) に近い値
    }
}

public class QuaternionConjugateExample : MonoBehaviour

{

public Transform target;

void Start()

{

// 回転qを取得

Quaternion q = target.rotation;

// 共役（逆回転）を計算

Quaternion qConjugate = Quaternion.Inverse(q);

// q * q* = 1（単位クォータニオン）

Quaternion result = q * qConjugate;

Debug.Log($"結果: {result}"); // (0, 0, 0, 1) に近い値

}

回転の逆変換

ある回転で回転させた後、元に戻します。

public class RotationInverse : MonoBehaviour
{
    public Transform objectToRotate;
    public float rotationSpeed = 90f;
    
    private Quaternion originalRotation;
    private Quaternion appliedRotation;
    
    void Start()
    {
        originalRotation = objectToRotate.rotation;
    }
    
    void Update()
    {
        if (Input.GetKeyDown(KeyCode.Space))
        {
            // 回転を適用
            appliedRotation = Quaternion.Euler(0, rotationSpeed, 0);
            objectToRotate.rotation = originalRotation * appliedRotation;
        }
        
        if (Input.GetKeyDown(KeyCode.R))
        {
            // 共役を使って元に戻す
            Quaternion inverseRotation = Quaternion.Inverse(appliedRotation);
            objectToRotate.rotation = originalRotation * inverseRotation;
        }
    }
}

public class RotationInverse : MonoBehaviour

{

public Transform objectToRotate;

public float rotationSpeed = 90f;

private Quaternion originalRotation;

private Quaternion appliedRotation;

void Start()

{

originalRotation = objectToRotate.rotation;

}

void Update()

{

if (Input.GetKeyDown(KeyCode.Space))

{

// 回転を適用

appliedRotation = Quaternion.Euler(0, rotationSpeed, 0);

objectToRotate.rotation = originalRotation * appliedRotation;

}

if (Input.GetKeyDown(KeyCode.R))

{

// 共役を使って元に戻す

Quaternion inverseRotation = Quaternion.Inverse(appliedRotation);

objectToRotate.rotation = originalRotation * inverseRotation;

}

相対回転の計算

2つの回転の相対回転を計算します。

public class RelativeRotation : MonoBehaviour
{
    public Transform object1;
    public Transform object2;
    
    void Update()
    {
        // 2つのオブジェクトの回転
        Quaternion q1 = object1.rotation;
        Quaternion q2 = object2.rotation;
        
        // q1からq2への相対回転
        Quaternion relativeRotation = q2 * Quaternion.Inverse(q1);
        
        // 相対回転の角度を取得
        float angle;
        Vector3 axis;
        relativeRotation.ToAngleAxis(out angle, out axis);
        
        Debug.Log($"相対回転角度: {angle}度, 軸: {axis}");
    }
}

public class RelativeRotation : MonoBehaviour

{

public Transform object1;

public Transform object2;

void Update()

{

// 2つのオブジェクトの回転

Quaternion q1 = object1.rotation;

Quaternion q2 = object2.rotation;

// q1からq2への相対回転

Quaternion relativeRotation = q2 * Quaternion.Inverse(q1);

// 相対回転の角度を取得

float angle;

Vector3 axis;

relativeRotation.ToAngleAxis(out angle, out axis);

Debug.Log($"相対回転角度: {angle}度, 軸: {axis}");

}

ローカル座標系での回転

オブジェクトのローカル座標系で、回転を計算します。

public class LocalRotation : MonoBehaviour
{
    public Transform parent;
    public Transform child;
    
    void Update()
    {
        // 親の回転を取得
        Quaternion parentRotation = parent.rotation;
        
        // 子のワールド座標系での回転
        Quaternion childWorldRotation = child.rotation;
        
        // 子のローカル座標系での回転
        Quaternion childLocalRotation = Quaternion.Inverse(parentRotation) * childWorldRotation;
        
        // ローカル座標系での回転角度を取得
        float localAngle;
        Vector3 localAxis;
        childLocalRotation.ToAngleAxis(out localAngle, out localAxis);
        
        Debug.Log($"ローカル回転角度: {localAngle}度");
    }
}

public class LocalRotation : MonoBehaviour

{

public Transform parent;

public Transform child;

void Update()

{

// 親の回転を取得

Quaternion parentRotation = parent.rotation;

// 子のワールド座標系での回転

Quaternion childWorldRotation = child.rotation;

// 子のローカル座標系での回転

Quaternion childLocalRotation = Quaternion.Inverse(parentRotation) * childWorldRotation;

// ローカル座標系での回転角度を取得

float localAngle;

Vector3 localAxis;

childLocalRotation.ToAngleAxis(out localAngle, out localAxis);

Debug.Log($"ローカル回転角度: {localAngle}度");

}

回転の補間での使用

最短経路での回転補間を実現します。

public class QuaternionInterpolation : MonoBehaviour
{
    public Transform target;
    public Transform startPosition;
    public Transform endPosition;
    
    void Start()
    {
        Quaternion startRot = startPosition.rotation;
        Quaternion endRot = endPosition.rotation;
        
        // 内積を計算して、最短経路を選択
        float dot = Quaternion.Dot(startRot, endRot);
        
        // 内積が負の場合は、共役を使う
        if (dot < 0f)
        {
            endRot = Quaternion.Inverse(endRot);
        }
        
        // Slerpで補間
        StartCoroutine(InterpolateRotation(startRot, endRot));
    }
    
    IEnumerator InterpolateRotation(Quaternion start, Quaternion end)
    {
        float t = 0f;
        while (t < 1f)
        {
            t += Time.deltaTime;
            target.rotation = Quaternion.Slerp(start, end, t);
            yield return null;
        }
    }
}

public class QuaternionInterpolation : MonoBehaviour

{

public Transform target;

public Transform startPosition;

public Transform endPosition;

void Start()

{

Quaternion startRot = startPosition.rotation;

Quaternion endRot = endPosition.rotation;

// 内積を計算して、最短経路を選択

float dot = Quaternion.Dot(startRot, endRot);

// 内積が負の場合は、共役を使う

if (dot < 0f)

{

endRot = Quaternion.Inverse(endRot);

}

// Slerpで補間

StartCoroutine(InterpolateRotation(startRot, endRot));

}

IEnumerator InterpolateRotation(Quaternion start, Quaternion end)

{

float t = 0f;

while (t < 1f)

{

t += Time.deltaTime;

target.rotation = Quaternion.Slerp(start, end, t);

yield return null;

}

共役の手動計算

共役を手動で計算する場合の実装です。

public static Quaternion Conjugate(Quaternion q)
{
    // 共役 = (w, -x, -y, -z)
    return new Quaternion(-q.x, -q.y, -q.z, q.w);
}

public static Quaternion Conjugate(Quaternion q)

{

// 共役 = (w, -x, -y, -z)

return new Quaternion(-q.x, -q.y, -q.z, q.w);

}

博士

共役クォータニオンは、回転の逆を表す重要な概念です。Quaternion.Inverseを使えば簡単に計算できます。相対回転の計算や、ローカル座標系での回転計算など、様々な場面で活用できますね！

まとめ

この記事では、共役クォータニオンの仕組みについて見てきました。

重要なポイントをおさらいします。

重要なポイント：

共役クォータニオンは、回転の逆を表す
共役の計算は、虚数部の符号を反転させる
UnityのQuaternion.Inverseが共役を返す
q * q* = 1で、回転が打ち消される
相対回転の計算や、ローカル座標系での回転計算に活用できる

共役クォータニオンは、3D回転処理で重要な概念です。

回転の逆を求めることで、様々な回転計算が可能になります。

相対回転の計算など、実用的な場面で活用できますね。

実際のゲーム実装とセットで学ぶことで、理解が深まるはずです。

Unity入門の森では、クォータニオンを含む回転処理を、実際のゲーム実装とともに体系的に学べます。

ぜひチェックしてみてください。

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ゲームでの具体的な使い道

回転の逆変換

相対回転の計算

ローカル座標系での回転

回転の補間での使用

考え方・仕組みを図解イメージで説明

クォータニオンの表現

共役の計算

回転の打ち消し

相対回転の計算

Unityで実装する際の注意点（代表例）

Quaternion.Inverseを使った実装

回転の逆変換

相対回転の計算

ローカル座標系での回転

回転の補間での使用

共役の手動計算

まとめ

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